раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2-й половине 20 в. М. т. оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение как в алгебре, так и в др. разделах математики.

Основные понятия М. т. - понятия алгебраической системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраической системе. Типичным примером алгебраической системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами 0, 1. Простейшие высказывания об этой системе - высказывания типа: "х + у = z при х = 2, у = 3, z = 5", "x у = z при х = 4, у = 2, z = 8", "x < у при х = 2, у = 3". Из простейших высказываний более сложные получаются при помощи пропозициональных связок "и", "или", "если..., то...", "не", а также кванторов "для каждого x...", "существует такое х, что...". Например, утверждение, что числа u и v взаимно просты, более подробно записывается в виде: "для каждых х, у и z, если u = х · у и v =х · z, то x = 1" и, значит, получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.

В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения называются основными в алгебраической системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие определённый символ. Набор Ω этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Обычно изучаются классы алгебраических систем одной сигнатуры.

Важнейшим из формализованных языков является язык 1-й ступени. Алфавит этого языка состоит из набора Ω символов отношений и операций; знаков &, V, →, ⌉, ∀, ∃, обозначающих пропозициональные связки и кванторы (см. ниже); набора символов, называемых предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, называемое местностью этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, которым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами. Если f - символ n-местной операции, а про g₁, ..., g_n уже известно, что они термы, то f(g₁, ..., g_n) есть тоже терм. Простейшие формулы - выражения вида P(g₁, ... , g_n), где Р есть n-местный символ отношения, а g₁, ..., g_n - термы. Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные те, которые находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Например, в формуле

(∀x) (∃y) (f(x, у) = z V f(x, у) = u)

свободными являются z и u, а х и у связаны кванторами. Формулы без свободных переменных называются высказываниями. Каждая формула со свободными переменными x₁, ..., x_n на каждой алгебраической системе А сигнатуры Ω определяет n-местное отношение. Например, формула, записывающая утверждение, что числа u и v взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, которое для пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задаётся самой системой А. Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов и пропозициональных связок: (Ф₁ & Ф₂) интерпретируется как "Ф₁ и Ф₂", (Ф₁ V Ф₂) - как "Ф₁ или Ф₂", (Ф₁ → Ф₂) - как "если Ф₁, то Ф₂", ⌉Ф - как "неверно, что Ф", (∃x)Ф - как "для всех хФ", (∃х)Ф - как "существует х, для которого Ф". Согласно этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраической системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Например, если символу f ставится в соответствие операция сложения на натуральных числах, то формула (∀x) f(x, х) = f (f(x, х), х), утверждающая, что 2x = 3х для всех х, ложна на натуральных числах, а формула (∀x (f(x, x) = x → f(x, х) = f(f(x, х), х)), утверждающая, что если 2x = х, то 2x = 3х, истинна. Алгебраическая система А называется моделью данного множества Σ высказываний, если каждое высказывание из Σ истинно в А. Класс К алгебраических систем называется аксиоматизируемым, если К есть совокупность всех моделей некоторого множества высказываний. Многие важные классы алгебраических систем, например классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.

Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов - важная часть М. т. Во многих случаях по форме высказываний из Σ удаётся судить о некоторых алгебраических свойствах класса всех моделей Σ. Например, тот факт, что гомоморфные образы и прямые произведения групп снова оказываются группами, есть следствие того, что класс групп может быть определён как совокупность всех моделей такой совокупности высказываний Σ, что каждое высказывание из Σ имеет вид (∀x₁)... ... (∀x_n)f = g, где f, g - термы.

Фундаментальный результат М. т. - локальная теорема Мальцева (1936), согласно которой если каждая конечная подсовокупность совокупности Σ высказываний имеет модель, то и Σ имеет модель. А. И. Мальцев нашёл многочисленные применения своей теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры.

Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лёвенхейма - Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счетной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности, нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели которой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраической системе, например полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Но тем не менее существуют аксиоматизируемые классы, все системы которых данной бесконечной мощности изоморфны.

Одной из важных конкретных совокупностей высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из одного символа - символа бинарного отношения, интерпретируемого как "х есть элемент y". Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из которых осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности называются системами аксиом для теории множеств. Развитие М. т. показало, что нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, которая удовлетворила бы все потребности математики (см. также Аксиоматическая теория множеств).

Центральная часть современной М. т. - это изучение элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако постепенно всё возрастающее место отводится и изучению теорий, описываемых при помощи более богатых языков.

Историческая справка. Основные понятия М. т. возникли в математике в 19 в., главным образом в работах по основаниям геометрии. К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошёл Н. И. Лобачевский в работах по геометрии. В полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского. Современной формулировки основных понятий М. т. сложились в работах школ Д. Гильберта и А. Тарского (См. Тарский). М. т. возникла в начале 30-х гг. 20 в. в результате применения методов математической логики в алгебре, одним из инициаторов которого был А. И. Мальцев.

Лит.: Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967.

А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин.